Lehrbuch der Mathematischen Physik: 2 Klassische Feldtheorie by Walter Thirring

By Walter Thirring

Die Sprache und die Methoden der modernen Differentialgeometrie sind in der vergangenen Dekade immer mehr in die theoretische Physik eingedrungen. was once vor 15 Jahren, als das Buch zuerst als Vorlesungsskriptum herauskam, noch extravagant erschien, ist heute ein Gemeinplatz. Dies hat mich in der Ansicht gestärkt, daß die Studenten der theoretischen Physik diese Sprache lernen müssen, je eher desto besser. Schließlich werden sie die Professoren des 21. Jahrhunderts sein und es wäre absurd, würden sie dann die Mathematik des 19. Jahrhunderts lehren. Daher habe ich in der neuen Auflage auf dieser Symbolik beharrt, einige Fehler korrigiert und ein Kapi­ tel über Eichtheorien hinzugefügt. Da es sich gezeigt hat, daß sie die fundamentalen Wechselwirkungen beschreiben und ihre Struktur zumindest auf dem klassischen Ni­ veau hinreichend klar ist, scheinen sie mir zur Minimalausrüstung zu gehören, über die jeder Theoretiker verfügen muß. Mit Bedauern mußte ich davon Abstand nehmen, die neueren Entwicklungen der Kosmologie und Kaluza-Klein-artige Theorien aufzu­ nehmen, aber ich fühlte mich an mein ursprüngliches Versprechen gebunden, den Studenten keine theoretischen Spekulationen aufzubürden, für die es keine sichere experimentelle Evidenz gibt. Vielen Physikern bin ich für Hinweise bezüglich dieses Bandes sehr verpflichtet. Insbesondere P. Aichelburg, H. Rumpf und vor allem H. Urbantke haben zahlreiche Korrekturen und Verbesserungen angebracht. I. Dahl-Jensen sei dafür gedankt, daß sie manche nach Gefühl angefertigte Zeichnungen mit dem computing device ins richtige Lot gebracht hat.

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3,24) kann auch nicht in jeder Basis gelten, denn bei e" -+ A'\1(x) eß würde sich die rechte Seite linear mit A transformieren, während die linke Seite zusätzlich einen Term mit dA bekäme. Physikalisch bedeutet dies, daß etwa in einem beschleunigten Bezugssystem Scheinkräfte zur Lorentzkraft hinzukommen. 2. 1 ), ist sein Strom (vgl. Aufgabe 7) J/X) = e l, ds o4 (x - z(s)) i:/s) (o 4 (x) := o(x 0 )o(x 1 )o(x 2 )o(x 3 )). Die Lorentzkraft mit diesem J: e j ds o(x - z(s)) po:ß (z(s)) i:ß(s) -~ ist gerade - ot", wenn wir die Energie-Impuls-Ströme eines Teilchens so ansetzen, daß die Energie = J *t 0 = m i: 0 > 0 wird: 40 1.

Zeige, daß im Rn die Lie-Ableitung nach der natürlichen Basis ~ = id • d + d • idx xk k · · in dieser Basis ftir die eJ' ··· Jp einfach ~ it···ipj, ... J, ... Jp, . k e . W. lt••·lp ergibt. 5. Diskutiere die Transformationseigenschaft von Pk := *Tk bei Lorentztransformationen. ~ 3 6. 3,10;3) gegebenen Potential. 7. 3,38) 1. 3,13) besagt E1 J lxi=R, t=o dO E= J lxi<;R, t=o d 3 x p(x), d(*FIN) =- *JIN, heißt div E = p. 2. tl J t0 dt ,.. J x 3 =0 1x1=R ds B = . ;R ~ ~ t dO E + j' dt t0 J x 3 =0 lxi"R ~ -+ dO j oder rot B = j + E 3.

Zusammen ergibt dies für jedes Vektorfeld mit *Lv = Lv * die Relation - d*T V := l2 d[F 1\ iV *F- (i V F) 1\ *F] =- (i V F) 1\ *J. 5. Falls d*J = 0, ist f! mit! 1,2) unter A-+ A +dA, AlaN = 0, inva~ 4 riant. Nun ist die Eichgruppe eine riesige (abelsche) Invarianzgruppe, sie ist nicht einmal lokal kompakt, da sie beliebige Funktionen enthält. Dies erweckt das Gefühl, daß sie zu unzähligen Erhaltungssätzen Anlaß geben müßte. 1 Wirkungsprinzip und Erhaltungssätze unabhängig von der Gültigkeit der Feldgleichungen erfüllt sind.

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