Differentialgeometrie by Andreas Kriegl

By Andreas Kriegl

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Wir geben nun einen zweiten direkteren Beweis, der auch gleichzeitig die Glattheit des Liftes liefert. Zuerst eine Vorbemerkung: Sei c¯ ein Lift von c. Wegen der Stetigkeit von c existiert ein δ > 0 mit |c(t)−c(t0 )| < 2 f¨ ur alle |t−t0 | < δ. Dann ist |¯ c(t)−¯ c(t0 )| < π f¨ ur diese t, denn w¨ are es gr¨ oßer als π f¨ ur ein t so nach dem Zwischenwertsatz auch gleich π f¨ ur ein anderes t und somit c(t) = −c(t0 ) also |c(t) − c(t0 )| = 2, Widerspruch. 5 und Anfangswert ϕ0 = c¯(t0 ). Nun zeigen wir die Eindeutigkeit lokaler Lifts: Seien cj : Ij → R zwei Lifts von c|Ij f¨ ur j = 1, 2, wobei Ij t0 ein offenes Teilintervall von I ist.

Die Gleichungen sind dann dy y(p) = p · x(p) + g(p) und = p, dx mit g := b ◦ a−1 . at c 15. 15 3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene wobei wir die Bedingung, daß x als Parameter gew¨ahlt werden kann bedeutet, daß p (x) = y nirgends verschwindet. Wenn wir diese Bedingung nicht verlangen, so erhalten wir als L¨ osungen auch jede Gerade der Schar (dann ist y konstant p). Um die Kurve c zu finden m¨ ussen wir also die Clairaut’sche Differentialgleichung y = x · y + g(y ) mit g (y) = 0 l¨ osen. Dies ist eine implizite Differentialgleichung F (x, y, y ) = 0 mit F (x, y, p) := x · p + g(p) − y.

K| = | L 0 K| ⇔ K (1 ⇒ 3) Sei c nach der Bogenl¨ange parametrisiert und eiθ(t) = c (t). 7 === = 2π. K(t)dt = 0 Wir nehmen indirekt an, daß es einen Punkt t0 gibt, sodaß die Kurve c auf beiden Seiten der Tangente an t0 liegt. Sei v := c (t0 )⊥ . Seien weiters t− und t+ so gew¨ahlt, daß c(t− ) | v minimal bzw. c(t+ ) | v maximal ist, dann gilt: c(t− ) | v 52 < c(t0 ) | v < c(t+ ) | v . at c 15. 1 6. Konvexe Kurven und Eilinien c’ t0 c t c t c t0 v Wir differenzieren c(t) | v d dt c(t) | v nach t: = c (t) | v = 0 f¨ ur t = t− , t+ , da Extremalwerte, und f¨ ur t = t0 , da v = c (t0 )⊥ .

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