Das Geheimnis der transzendenten Zahlen: Eine etwas andere by Fridtjof Toenniessen

By Fridtjof Toenniessen

Used to be ist Mathematik? was once macht sie so spannend? Und wie forschen Mathematiker eigentlich? Das Geheimnis der transzendenten Zahlen ist eine Einführung in die Mathematik, bei der diese Fragen im Zentrum stehen. Sie brauchen dazu keine Vorkenntnisse. Aufbauend auf den natürlichen Zahlen 0,1,2,3,... beginnt eine Reise durch verschiedene Gebiete dieser lebendigen Wissenschaft. Ziel der Reise sind die großen Entdeckungen, mit denen Jahrtausende alte Rätsel aus der Antike gelöst wurden. Den roten Faden bildet die berühmte Frage nach der Quadratur des Kreises, die eng mit transzendenten Zahlen verbunden ist. Das Buch zeigt, wie Mathematiker mit Neugier forschen, immer neue Fragen stellen und dabei überraschende Zusammenhänge finden. Es richtet sich an Studierende, Lehrer, Schüler und Laien, die auch auf diesen Pfaden wandeln wollen.

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Eine Äquivalenzrelation ist eine spezielle Relation Re in A × A, also dem Produkt von A mit sich selbst. Für alle Paare (a, b) ∈ Re sagt man dann auch, a sei äquivalent zu b. Damit Re sich Äquivalenzrelation nennen darf, muss es allerdings einige strenge Auflagen erfüllen. Diese ergeben sich aus dem gesunden Menschenverstand, wenn wir Äquivalenz als eine Art von Gleichwertigkeit ansehen: Bedingungen für eine Äquivalenzrelation 1. Für jedes a ∈ A ist (a, a) ∈ Re . Jedes Element muss also äquivalent zu sich selbst sein (Reflexivität).

Sind sie alle gleich mächtig? Dazu definieren wir eine unendliche Menge A als abzählbar, wenn es eine Surjektion α : N → A gibt. Das bedeutet anschaulich, dass N, welches der Urtyp aller abzählbar unendlichen Mengen ist, „mindestens genauso viele“ Elemente enthält wie A. Wir können dann A nämlich abzählen durch die Folge α(0), α(1), α(2), α(3), . . Dass dabei möglicherweise Elemente mehrfach aufgezählt werden, ist für diese Betrachtung nicht von Belang. Die algebraische Struktur von Z 47 Wenn Sie ein wenig darüber nachdenken, drängen sich sofort zwei Fragen auf: Gibt es unendliche Mengen, die nicht abzählbar sind, die also derart mächtig sind, dass selbst die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht ausreicht, um all ihre Elemente zu erfassen?

Wir werden dazu eine verblüffende Logelei erleben und – als wichtigste Erkenntnis – ein universelles Zaubermittel kennen lernen, mit dessen Hilfe wir das gesamte Zahlensystem konstruieren. Wir benutzen dabei nur Kenntnisse, über die schon kleine Kinder verfügen. Wie schon angedeutet, das ist Mathematik, die vom Nullpunkt startet. Sind Sie neugierig geworden? Nur Mut, lassen Sie uns das Abenteuer fortsetzen. Allgemeine Begriffe Wir beginnen mit der zentralen Definition dieses Kapitels. Elemente und Mengen Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die ihre Elemente genannt werden.

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