Conception optimale de structures (Mathématiques et by Grégoire Allaire, M. de Schoenauer

By Grégoire Allaire, M. de Schoenauer

Perception optimale des buildings est une creation ? los angeles belief optimale de constructions, appel?e aussi optimisation de formes. Il est principalement destin? ? un public mixte de math?maticiens appliqu?s et de m?caniciens que relient un m?me int?r?t pour les purposes num?riques.

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9). 8) qui dépend linéairement et continûment de f ∈ L2 (Ω) et g ∈ V . En particulier, il existe une constante C > 0 telle que, pour tout f ∈ L2 (Ω) et g ∈ V , on a u H 1 (Ω) ≤C f L2 (Ω) + g H 1 (Ω) . Démonstration. Elle s’opère en trois étapes. Étape 1. 8). 8) par une fonction test régulière v et on intègre par parties. Ce calcul est principalement formel au sens où l’on suppose l’existence et la régularité de la solution u afin que tous les calculs effectués soient licites. 5), on trouve Ω f v dx = − div (A∇u) v dx = Ω A∇u·n v ds.

On note V un espace de Hilbert réel de produit scalaire , et de norme . On appelle formulation variationnelle le problème suivant : trouver u ∈ V tel que a(u, v) = L(v) pour toute fonction v ∈ V. 7) Les hypothèses sur a et L sont 1. L(·) est une forme linéaire continue sur V , c’est-à-dire que v → L(v) est linéaire de V dans R et il existe C > 0 tel que |L(v)| ≤ C v pour tout v ∈ V ; 2. a(·, ·) est une forme bilinéaire sur V , c’est-à-dire que w → a(w, v) est une forme linéaire de V dans R pour tout v ∈ V , et v → a(w, v) est une forme linéaire de V dans R pour tout w ∈ V ; 3.

32) admet une unique solution uh qui s’obtient en résolvant un système linéaire de matrice définie positive (et symétrique si a(u, v) est symétrique). Démonstration. On introduit une base (φj )1≤j≤Nh de Vh . On pose uh = Nh Nh . 33) où la matrice Kh , dite de rigidité, est définie par (Kh )ij = a(φj , φi ), (bh )i = L(φi ) 1 ≤ i, j ≤ N. La coercivité de la forme bilinéaire a(u, v) entraîne le caractère défini positif de la matrice de rigidité Kh qui est donc inversible. De même, la symétrie de a(u, v) implique celle de Kh .

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