Algebra fur Einsteiger: Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach speedy dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Dieses Buch eignet sich hervorragend zur selbstständigen Einarbeitung in die Diskrete Mathematik, aber auch als Begleitlektüre zu einer einführenden Vorlesung. Die Diskrete Mathematik ist ein junges Gebiet der Mathematik, das eine Brücke schlägt zwischen Grundlagenfragen und konkreten Anwendungen. Zu den Gebieten der Diskreten Mathematik gehören Codierungstheorie, Kryptographie, Graphentheorie und Netzwerke.

Structure of algebras,

The 1st 3 chapters of this paintings include an exposition of the Wedderburn constitution theorems. bankruptcy IV includes the speculation of the commutator subalgebra of an easy subalgebra of an ordinary easy algebra, the examine of automorphisms of an easy algebra, splitting fields, and the index aid issue concept.

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26 Biquadratische Gleichungen 2z − p 2 z 2 − r = −q erfüllt sein muss. Durch beidseitiges Quadrieren erhält man aus dieser Bedingung zunächst ( 2 z − p )( z 2 − r ) = q2 4 und damit schließlich die kubische Gleichung z3 − p 2 pr q 2 z − rz + − = 0. 2 2 8 Hat man für diese so genannte kubische Resolvente eine Lösung z bestimmt, so ergeben sich die Lösungen der ursprünglichen biquadratischen Gleichung aus x2 + z = ± ( ) 2z − p x + z 2 − r , wobei jede der beiden Vorzeichenvarianten mit Hilfe der bestens vertrauten Lösungsformel für quadratische Gleichung zwei Lösungen liefert.

Entsprechen, verdanken wir Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Lagrange, der Dank der Förderung durch Friedrich II. ab 1766 immerhin 20 Jahre seines Wirkens in Berlin verbrachte, veröffentlichte 1771 eine Untersuchung über allgemeine Lösungsansätze für Gleichungen n-ten Grades. Lagranges Ausgangspunkt bildet die systematische Untersuchung der allgemeinen Lösungsformeln für die Gleichungen bis zum vierten Grade. Wenn die Zwischenwerte bei der Auflösung der allgemeinen Gleichung bis zum vierten Grade allesamt Polynome in den Lösungen x1, x2, ...

Außerdem können wir b0 ≠ 0 annehmen, da ansonsten bereits eine Nullstelle gefunden ist. Man bestimmt nun – beispielsweise mit der Moivre’schen Formel – eine komplexe Zahl w mit der Eigenschaft b wm = − 0 bm und bildet dann auf Basis einer noch später zu wählenden positiven, kleinen Zahl 0 < ε < 1 das Argument z1 = z0 + εw. Für den zugehörigen Funktionswert f (z1) findet man nun: b f ( z1 ) = b0 − bmε m 0 + bm+1ε m+1 w m+1 + K + bn ε n w n bm = (1 − ε m )b0 + bm+1ε m+1 w m+1 + K + bn ε n w n Diese Gleichung erlaubt nun eine Abschätzung für den Betrag | f (z1)|: ( f ( z1 ) ≤ (1 − ε m ) b0 + ε m+1 bm+1 w m+1 + K + bn w n ( ) ) = b0 (1 − ε m (1 − εB ) , wobei der Quotient B = (| bm+1wm+1| + ...

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